矩阵的迹

定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为 $n$ 阶方阵，则称其主对角线元素之和为矩阵 $A$ 的迹，记作

$$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}.$$

迹是相似不变量，等于矩阵全部特征值（含代数重数）之和。考研中常用于求参数、判断相似、计算特征值之和、处理秩为 $1$ 矩阵等。

充要条件

1. 按定义：

$$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}.$$

2. 迹为零的充要条件：

$$\mathrm{tr}(A)=0⟺A\text{ 的全部特征值（含代数重数）之和为 }0.$$

3. 矩阵为零矩阵的充要条件：

$$\mathrm{tr}(A^{T}A)=0⟺A=0.$$

因为

$$\mathrm{tr}(A^{T}A)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2\ge 0.$$

4. 秩一矩阵的迹： 若

$$A=\alpha {\beta }^T,\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n,$$

则

$$\mathrm{tr}(A)={\beta }^T\alpha ={\alpha }^T\beta .$$

必要条件

1. 若 $A\sim B$，即 $A$ 与 $B$ 相似，则

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B).$$

这是相似的必要条件，但不是充分条件。

2. 若 $A$ 正定，则

$$\mathrm{tr}(A)>0.$$

更一般地，正定矩阵的主对角元全大于零。

3. 若 $A$ 为幂零矩阵，则

$$\mathrm{tr}(A)=0.$$

但反之不成立，即 $\mathrm{tr}(A)=0$ 不能推出 $A$ 幂零。

4. 若 $A$ 可逆，则 $\mathrm{tr}(A)$ 不一定非零。

5. 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

$$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i,$$

其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的全部特征值（含代数重数）。

其他性质

1. 线性性质：

$$\mathrm{tr}(kA+lB)=k\mathrm{tr}(A)+l\mathrm{tr}(B).$$

2. 转置不变：

$$\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A).$$

3. 乘积交换性：

$$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA).$$

更一般地，若乘积有意义，则

$$\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB).$$

但一般

$$\mathrm{tr}(ABC)\ne \mathrm{tr}(ACB).$$

4. 相似不变：

$$\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(A).$$

5. 特征值表示：

$$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i,\mathrm{tr}(A^k)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^k.$$

6. 秩为 1 矩阵： 若

$$A=\alpha {\beta }^T,$$

则

$$A^2=\mathrm{tr}(A)A,A^k=(\mathrm{tr}(A){)}^{k-1}A.$$

7. 非负性：

$$\mathrm{tr}(A^{T}A)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2\ge 0,$$

且等号成立当且仅当 $A=0$。

8. 迹为零不意味着矩阵为零。例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\mathrm{tr}(A)=0,$$

但 $A\ne 0$。

题型与应用

1. 利用相似求参数： 已知 $A\sim B$，由

   $$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$$

   列方程求参数。

2. 求特征值之和： 若已知矩阵特征值，可直接写出迹；反之，已知迹可辅助求特征值或判断相似。

3. 计算矩阵高次幂的迹： 若 $A$ 可对角化，则

   $$\mathrm{tr}(A^k)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^k.$$

   常用于求 $A^k$ 或相关参数。

4. 秩为 $1$ 矩阵问题： 若 $A=\alpha {\beta }^T$，则

   $$\mathrm{tr}(A)={\beta }^T\alpha ,$$

   且

   $$A^k=(\mathrm{tr}(A){)}^{k-1}A.$$

   用于求高次幂、特征值、可对角化判定。

5. 证明题： 证明

   $$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA);$$

   证明相似矩阵迹相等；证明

   $$\mathrm{tr}(A^{T}A)=0⟺A=0.$$

6. 正定性必要条件： 正定矩阵满足

   $$\mathrm{tr}(A)>0,$$

   可作为判断正定的必要条件，但不能仅凭迹大于零判断正定。