正定矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。若对任意非零列向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$，都有

$$x^{T}Ax>0$$

则称 $A$ 为正定矩阵，记作 $A>0$；对应的二次型 $f(x)=x^{T}Ax$ 称为正定二次型。

考研中“正定矩阵”默认指实对称矩阵。判断正定通常围绕特征值、顺序主子式、合同于单位矩阵、正惯性指数等展开。

充要条件

1. 按定义：

$$A\text{ 正定}⟺\forall x\ne 0,x^{T}Ax>0$$

2. 特征值条件：

$$A\text{ 正定}⟺A\text{ 的特征值全为正}$$

3. 顺序主子式条件：

$$A\text{ 正定}⟺A\text{ 的各阶顺序主子式全大于零}$$

即

$$D_1>0,D_2>0,\cdots ,D_n=|A|>0$$

其中 $D_k$ 为 $A$ 的左上角 $k$ 阶顺序主子式。

4. 合同条件：

$$A\text{ 正定}⟺A\text{ 合同于单位矩阵 }I$$

即存在可逆矩阵 $C$，使

$$A=C^{T}IC=C^{T}C$$

5. 正惯性指数条件：

$$A\text{ 正定}⟺A\text{ 的正惯性指数为 }n$$

即二次型规范形为

$$y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2$$

6. 存在可逆矩阵条件：

$$A\text{ 正定}⟺\exists \text{ 可逆矩阵 }C,A=C^{T}C$$

7. 正交相似条件：

$$A\text{ 正定}⟺\exists \text{ 正交矩阵 }Q,Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$

且

$${\lambda }_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$$

必要条件

1. $A$ 必为实对称矩阵。

2. 主对角元全大于零：

$$a_{ii}>0(i=1,2,\cdots ,n)$$

3. 行列式大于零：

$$|A|>0$$

4. 迹大于零：

$$\mathrm{tr}(A)>0$$

5. 秩为 $n$，即 $A$ 可逆：

$$r(A)=n$$

6. 特征值全为正，从而所有特征值之和、之积均为正：

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i>0,\prod _{i=1}^n{\lambda }_i>0$$

7. 若 $A$ 正定，则 $A$ 的任意 $k$ 阶顺序主子式均大于零：

$$D_k>0(k=1,2,\cdots ,n)$$

其他性质

1. 正定矩阵必可逆，且

$$A^{-1}\text{ 正定}$$

2. 若 $A$ 正定，则 $A^T=A$ 正定；对任意正整数 $k$，

$$A^k\text{ 正定}$$

3. 若 $A$ 正定，则其伴随矩阵

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

也正定。

4. 若 $A$ 正定，$k>0$，则

$$kA\text{ 正定}$$

5. 若 $A,B$ 均正定，则

$$A+B\text{ 正定}$$

若 $A$ 正定，$B$ 半正定，则

$$A+B\text{ 正定}$$

6. 合同变换保持正定性：

$$A\text{ 正定},C\text{ 可逆}\Rightarrow C^{T}AC\text{ 正定}$$

7. 正定矩阵可正交相似对角化：

$$A=Q\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)Q^T$$

其中

$$Q^{T}Q=I,{\lambda }_i>0$$

8. 正定二次型经正交变换可化为标准形：

$$x=Qy\Rightarrow x^{T}Ax={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

且系数全为正。

9. 正定矩阵的谱分解：

$$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{q}_i{q}_i^T$$

其中 ${\lambda }_i>0$，$q_i$ 为标准正交特征向量。

10. 正定矩阵与半正定矩阵的区别：

$$A\text{ 半正定}⟺\forall x,x^{T}Ax\ge 0⟺A\text{ 的特征值全非负}$$

正定要求严格大于零，特征值全为正。

题型与应用

1. 判断二次型正定： 常用方法：

   • 求特征值，验证是否全为正；
   • 计算各阶顺序主子式，验证是否全大于零；
   • 配方化为标准形，验证正惯性指数是否为 $n$；
   • 判断是否合同于单位矩阵。

2. 求参数范围使二次型正定： 写出对应实对称矩阵 $A$，令各阶顺序主子式大于零，解不等式组求参数范围。

3. 证明矩阵正定： 常用方法：

   • 按定义证明 $x^{T}Ax>0$；
   • 证明特征值全为正；
   • 证明 $A=C^{T}C$，其中 $C$ 可逆；
   • 证明 $A$ 合同于单位矩阵。

4. 正定矩阵性质综合题： 证明 $A^{-1}$、$A^{\ast }$、$kA$、$A+B$、$C^{T}AC$ 的正定性；利用正定性判断可逆性、秩、特征值符号。

5. 二次型化标准形与规范形： 用正交变换或配方法将二次型化为标准形，并根据系数符号判断正定、负定、半正定等。

6. 概念辨析题： 区分正定、半正定、负定、半负定、不定；比较“相似、合同、等价”与正定性的关系。注意：

$$\text{正定}\Rightarrow \text{可逆}\Rightarrow \text{满秩}$$

但可逆矩阵不一定正定。