幂等矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若

$$A^2=A$$

则称 $A$ 为幂等矩阵。

幂等矩阵也称为投影矩阵。若进一步有 $A^T=A$，则称为实对称幂等矩阵，即正交投影矩阵。考研中常与特征值、可对角化、秩、迹、矩阵高次幂等结合考查。

充要条件

1. 按定义：

$$A\text{ 为幂等矩阵}⟺A^2=A$$

2. 相似标准形条件：

$$A\text{ 为幂等矩阵}⟺\exists \text{ 可逆矩阵 }P,P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

其中

$$r=r(A)=\mathrm{tr}(A).$$

3. 可对角化与特征值条件：

$$A\text{ 为幂等矩阵}⟺A\text{ 可对角化，且特征值只能为 }0\text{ 或 }1.$$

4. 秩与迹条件： 若 $A^2=A$，则

$$r(A)=\mathrm{tr}(A).$$

反之，若 $A$ 可对角化且特征值全为 $0$ 或 $1$，则 $A$ 幂等。

5. 实对称幂等矩阵的充要条件：

$$A\text{ 为实对称幂等矩阵}⟺A^T=A,A^2=A$$ $$⟺\exists \text{ 正交矩阵 }Q,Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

必要条件

1. $A$ 必为方阵。

2. 特征值只能为 $0$ 或 $1$（含代数重数）。

3. $A$ 一定可对角化。

4. 迹等于秩：

$$\mathrm{tr}(A)=r(A).$$

且 $\mathrm{tr}(A)$ 为非负整数。

5. 对任意正整数 $k$，有

$$A^k=A.$$

6. $I-A$ 也是幂等矩阵：

$$(I-A{)}^2=I-A.$$

7. 秩满足

$$r(A)+r(I-A)=n.$$

8. 零空间与列空间满足

$$\ker A=\mathrm{Im}(I-A),\ker (I-A)=\mathrm{Im}A.$$

且

$${\mathbb{R}}^n=\mathrm{Im}A\oplus \ker A.$$

9. 若 $A$ 可逆且幂等，则

$$A=I.$$

其他性质

1. 幂等矩阵的转置仍幂等：

$$(A^T{)}^2=A^T.$$

2. 若 $A$ 幂等，则对任意正整数 $k$，

$$A^k=A.$$

因此求高次幂时可直接替换。

3. 若 $A$ 幂等，则

$$A(I-A)=O,(I-A)A=O.$$

4. 若 $A$ 幂等，则 $A$ 的特征多项式为

$$|\lambda I-A|={\lambda }^{n-r}(\lambda -1{)}^r,$$

其中

$$r=r(A)=\mathrm{tr}(A).$$

5. 若 $A$ 幂等，则 $A$ 的最小多项式为

$$m(\lambda )=\lambda (\lambda -1)$$

（当 $A\ne O,I$ 时），因此 $A$ 可对角化。

6. 实对称幂等矩阵必半正定：

$$\forall x,x^{T}Ax=\Vert Ax{\Vert }^2\ge 0.$$

其特征值为 $0$ 或 $1$，且可正交对角化。

7. 实对称幂等矩阵的谱分解： 若 $r=r(A)$，则存在标准正交向量 $q_1,\cdots ,q_r$，使

$$A=\sum _{i=1}^r{q}_i{q}_i^T.$$

且

$$A{q}_i=q_i,A^2=A.$$

8. 实对称幂等矩阵合同于

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),$$

其中 $r=r(A)$。

9. 一般幂等矩阵不一定实对称，也不一定半正定。例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

满足 $A^2=A$，但 $A$ 不对称。

题型与应用

1. 判断幂等矩阵： 验证是否满足 $A^2=A$；或判断是否可对角化且特征值仅 $0,1$；或利用秩与迹关系。

2. 求参数使矩阵幂等： 由 $A^2=A$ 展开得到方程组，求参数。也可利用特征值只能为 $0$ 或 $1$、迹等于秩等条件辅助求解。

3. 计算矩阵高次幂： 若 $A^2=A$，则

$$A^n=A(n\ge 1).$$

可直接简化计算。

4. 证明可对角化： 由 $A^2=A$ 得

$$A(A-I)=O,$$

故最小多项式无重根，因此 $A$ 可对角化。

5. 求秩与迹： 利用

$$r(A)=\mathrm{tr}(A)$$

快速求秩或求参数。

6. 实对称幂等矩阵与二次型： 实对称幂等矩阵对应半正定二次型：

$$x^{T}Ax=\Vert Ax{\Vert }^2\ge 0.$$

可正交对角化为

$$Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

7. 概念辨析题： 区分“幂等矩阵”“实对称幂等矩阵”“投影矩阵”“正交投影矩阵”。注意：

$$\text{实对称幂等}\Rightarrow \text{幂等},$$

但幂等不一定实对称；实对称幂等一定半正定，一般幂等不一定半正定。