秩一矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵。若

$$r(A)=1$$

则称 $A$ 为秩为 $1$ 矩阵。

秩为 $1$ 矩阵的等价刻画：存在非零列向量 $\alpha ,\beta$，使得

$$A=\alpha {\beta }^T$$

其中 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$，$\beta \in {\mathbb{R}}^n$，且 $\alpha \ne 0,\beta \ne 0$。

秩为 $1$ 矩阵在考研中常与矩阵高次幂、特征值、可对角化、二次型等结合考查。

充要条件

1. 按定义：

   $$A\text{ 为秩为 }1\text{ 矩阵}⟺r(A)=1$$

2. 存在非零列向量 $\alpha ,\beta$，使

   $$A=\alpha {\beta }^T$$

3. $A\ne 0$，且 $A$ 的所有 $2$ 阶子式全为零（$n\ge 2$）。

4. $A\ne 0$，且 $A$ 的行向量组、列向量组的秩均为 $1$，即非零行成比例，非零列成比例。

5. 若 $A$ 为实对称矩阵，则

   $$r(A)=1⟺A=\lambda u{u}^T$$

   其中 $\lambda \ne 0$，$u$ 为单位列向量。

必要条件

1. $A\ne 0$。

2. 当 $n\ge 2$ 时，

   $$|A|=0$$

   即 $A$ 不可逆。

3. 特征值中至少有 $n-1$ 个为 $0$，另一个为

   $$\mathrm{tr}(A)={\beta }^T\alpha$$

   因此特征多项式为

   $$|\lambda I-A|={\lambda }^{n-1}(\lambda -\mathrm{tr}(A))$$

4. 迹满足

   $$\mathrm{tr}(A)={\beta }^T\alpha ={\alpha }^T\beta$$

5. 列空间为

   $$\mathrm{span}\{\alpha \}$$

   行空间为

   $$\mathrm{span}\{{\beta }^T\}$$

6. 若 $\mathrm{tr}(A)=0$，则

   $$A^2=0$$

   即 $A$ 为幂零矩阵。

其他性质

1. 若 $A=\alpha {\beta }^T$，则

   $$A^2=\alpha ({\beta }^T\alpha ){\beta }^T=({\beta }^T\alpha )A=\mathrm{tr}(A)A$$

   从而

   $$A^k=(\mathrm{tr}(A){)}^{k-1}A(k\ge 1)$$

2. 若 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$，则 $A$ 可对角化，且

   $$A\sim \mathrm{diag}(\mathrm{tr}(A),0,\cdots ,0)$$

3. 若 $\mathrm{tr}(A)=0$，则 $A$ 的特征值全为 $0$，且 $A\ne 0$，故 $A$ 不可对角化。

4. 秩为 $1$ 矩阵的转置仍为秩为 $1$ 矩阵：

   $$A^T=\beta {\alpha }^T$$

5. 两个秩为 $1$ 矩阵相乘：

   $$(\alpha {\beta }^T)(\gamma {\delta }^T)=({\beta }^T\gamma )\alpha {\delta }^T$$

   其秩为 $0$ 或 $1$。

6. 若 $A$ 为实对称秩为 $1$ 矩阵，则

   $$A=\lambda u{u}^T$$

   其中 $u$ 为单位向量，$\lambda \ne 0$。其特征值为

   $$\lambda ,0,\cdots ,0$$

   且

   $$\mathrm{tr}(A)=\lambda$$

7. 实对称秩为 $1$ 矩阵的合同规范形：

   $$\lambda >0\Rightarrow A\simeq \mathrm{diag}(1,0,\cdots ,0)$$ $$\lambda <0\Rightarrow A\simeq \mathrm{diag}(-1,0,\cdots ,0)$$

8. 当 $n>1$ 时，实对称秩为 $1$ 矩阵不可能正定；若 $\lambda >0$，则半正定但不正定。

题型与应用

1. 求矩阵高次幂： 若已知 $A=\alpha {\beta }^T$，则

   $$A^k=(\mathrm{tr}(A){)}^{k-1}A$$

   常用于计算 $A^n$。

2. 求特征值与判断可对角化： 秩为 $1$ 矩阵的特征值为

   $$\mathrm{tr}(A),0,\cdots ,0$$

   当 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$ 时可对角化；当 $\mathrm{tr}(A)=0$ 时不可对角化。

3. 求参数： 利用秩为 $1$ 的充要条件 $A=\alpha {\beta }^T$，或利用

   $$A^2=\mathrm{tr}(A)A$$

   列方程求参数。

4. 概念辨析题： 判断秩为 $1$ 矩阵的秩、行列式、特征值、迹、可逆性、可对角化等。

5. 实对称秩为 $1$ 矩阵与二次型： 写出

   $$A=\lambda u{u}^T$$

   的谱分解，判断二次型

   $$x^{T}Ax=\lambda (u^{T}x{)}^2$$

   的半正定性或半负定性，并求合同规范形。

6. 证明题： 证明秩为 $1$ 矩阵可表示为 $\alpha {\beta }^T$；证明

   $$A^2=\mathrm{tr}(A)A$$

   证明 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$ 时可对角化等。