矩阵的特征对

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在数 $\lambda$ 和非零列向量 $\alpha$，使得

$$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0,$$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量，并称 $(\lambda ,\alpha )$ 为矩阵 $A$ 的一个特征对。

“特征对”通常指特征值与对应特征向量配成的对。同一特征值可以对应多个特征向量；若 $\alpha$ 是特征向量，则 $k\alpha (k\ne 0)$ 仍是同一特征值对应的特征向量。

充要条件

1. $(\lambda ,\alpha )$ 为 $A$ 的特征对

$$⟺\alpha \ne 0,(\lambda I-A)\alpha =0.$$

2. $\lambda$ 为 $A$ 的特征值

$$⟺|\lambda I-A|=0$$

即 $\lambda$ 是特征方程 $|\lambda I-A|=0$ 的根，也是特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda I-A|$ 的根。

3. 对给定 $\lambda$，$\alpha$ 为对应于 $\lambda$ 的特征向量

$$⟺\alpha \text{ 是齐次方程组 }(\lambda I-A)x=0\text{ 的非零解}.$$

4. 矩阵 $A$ 可相似对角化

$$⟺A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}$$ $$⟺A\text{ 的每个特征值的几何重数等于其代数重数}.$$

5. 实对称矩阵 $A$ 一定可正交相似对角化：

$$\exists \text{ 正交矩阵 }Q=(q_1,\cdots ,q_n),Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n),$$

其中 $({\lambda }_i,q_i)$ 为 $A$ 的特征对，且 $q_1,\cdots ,q_n$ 为标准正交特征向量组。

6. 若

$$P=(p_1,p_2,\cdots ,p_n)$$

的列向量为 $A$ 的 $n$ 个线性无关特征向量，对应特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，则

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n).$$

必要条件

1. 特征向量必须非零：

$$\alpha \ne 0.$$

2. 特征值必为特征方程的根：

$$|\lambda I-A|=0.$$

3. 对每个特征值 $\lambda$，其几何重数不超过代数重数：

$$\dim \ker (\lambda I-A)\le m_{\lambda },$$

其中 $m_{\lambda }$ 为 $\lambda$ 的代数重数。

4. 属于不同特征值的特征向量线性无关：

$${\lambda }_i\ne {\lambda }_j,A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i,A{\alpha }_j={\lambda }_j{\alpha }_j\Rightarrow {\alpha }_i,{\alpha }_j\text{ 线性无关}.$$

5. 若 $A$ 为实对称矩阵，则属于不同特征值的特征向量相互正交：

$${\lambda }_i\ne {\lambda }_j\Rightarrow {\alpha }_i^T{\alpha }_j=0.$$

6. 特征值之和等于迹：

$${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=\mathrm{tr}(A).$$

7. 特征值之积等于行列式：

$${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|.$$

8. 若 $0$ 是 $A$ 的特征值，则

$$|A|=0,$$

即 $A$ 不可逆。

其他性质

1. 同一特征值对应的特征向量全体，加上零向量，构成齐次方程组

$$(\lambda I-A)x=0$$

的解空间，即特征子空间。

2. 若 $A\alpha =\lambda \alpha$，则对任意正整数 $k$，

$$A^k\alpha ={\lambda }^k\alpha .$$

3. 若 $f(x)$ 为多项式，则

$$f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha .$$

4. 若 $A$ 可逆，则

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha ,$$

即 $A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{\lambda }$，特征向量仍为 $\alpha$。

5. 若 $A$可逆，则

$$A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha ,$$

即 $A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda }$，特征向量仍为 $\alpha$。

6. 相似矩阵有相同特征值：

$$B=P^{-1}AP\Rightarrow \lambda \text{ 为 }A\text{ 的特征值}⟺\lambda \text{ 为 }B\text{ 的特征值}.$$

且若 $A\alpha =\lambda \alpha$，则

$$B(P^{-1}\alpha )=\lambda (P^{-1}\alpha ).$$

7. 转置矩阵有相同特征值：

$$\lambda \text{ 为 }A\text{ 的特征值}⟺\lambda \text{ 为 }{A}^T\text{ 的特征值}.$$

但特征向量一般不同。

8. 实对称矩阵的特征值全为实数，且一定存在 $n$ 个标准正交特征向量，构成正交矩阵。

9. 若 $A$ 可对角化，则

$$A^k=P\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)P^{-1},$$

可用于求矩阵高次幂。

10. 若 $A$ 为秩一矩阵，即

$$A=\alpha {\beta }^T,$$

则其特征值为

$${\beta }^T\alpha ,0,\cdots ,0,$$

且

$$A^2=\mathrm{tr}(A)A.$$

题型与应用

1. 求特征值与特征向量： 解特征方程

$$|\lambda I-A|=0$$

求特征值，再解

$$(\lambda I-A)x=0$$

求对应特征向量。

2. 由特征对求参数： 已知 $A\alpha =\lambda \alpha$，代入分量得到方程组，求矩阵中的参数或求 $\lambda ,\alpha$。

3. 判断矩阵是否可对角化： 求各特征值的代数重数与几何重数，若每个特征值均有

$$\text{几何重数}=\text{代数重数},$$

则 $A$ 可对角化。

4. 实对称矩阵正交对角化： 求特征值与特征向量，对同一特征值的特征向量作施密特正交化并单位化，构造正交矩阵 $Q$，使

$$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n).$$

5. 计算矩阵高次幂： 若 $A=P\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)P^{-1}$，则

$$A^k=P\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)P^{-1}.$$

6. 证明题： 证明不同特征值对应特征向量线性无关；证明实对称矩阵不同特征值对应特征向量正交；证明相似矩阵特征值相同；证明 $A^k$、$f(A)$、$A^{-1}$、$A^{\ast }$ 的特征值关系。

7. 概念辨析题： 区分特征值、特征向量、特征对、特征子空间；注意特征向量必须非零；同一特征值可有多个线性无关特征向量；不同特征值的特征向量线性无关。