矩阵的秩

定义

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。若 $A$ 中存在 $r$ 阶非零子式，而所有 $r+1$ 阶子式（若存在）全为零，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记作

$$r(A)=r.$$

规定零矩阵的秩为 $0$。

等价定义：

1. $A$ 的行阶梯形矩阵中非零行的个数；
2. $A$ 的行向量组的秩；
3. $A$ 的列向量组的秩。

矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。秩是矩阵在初等变换下的不变量，也是相似、合同变换下的不变量。

充要条件

1. 按定义：

$$r(A)=r⟺A\text{ 存在 }r\text{ 阶非零子式，且所有 }r+1\text{ 阶子式全为零}.$$

2. 行阶梯形条件：

$$r(A)=r⟺A\text{ 的行阶梯形矩阵中非零行个数为 }r.$$

3. 等价标准形条件：

$$r(A)=r⟺A\text{ 等价于 }\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),$$

即存在可逆矩阵 $P,Q$，使

$$PAQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

4. 行秩、列秩条件：

$$r(A)=r⟺A\text{ 的行向量组的秩为 }r⟺A\text{ 的列向量组的秩为 }r.$$

5. 线性方程组解的条件：

$$Ax=b\text{ 有解}⟺r(A)=r(A,b).$$ $$Ax=b\text{ 有唯一解}⟺r(A)=r(A,b)=n.$$ $$Ax=b\text{ 有无穷多解}⟺r(A)=r(A,b)<n.$$

齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系含$n-r(A)$个向量。

6. 可逆条件：

$$A\text{ 为 }n\text{ 阶方阵且可逆}⟺r(A)=n⟺|A|\ne 0.$$

7. 向量组线性相关性条件：

$${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\text{ 线性无关}⟺r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)=s.$$ $${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\text{ 线性相关}⟺r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)<s.$$

必要条件

1. 秩的范围：

$$0\le r(A)\le \min \{m,n\}.$$

2. 若 $r(A)=r$，则 $A$ 中任意 $r+1$ 阶子式全为零。

3. 若 $r(A)=r$，则 $A$ 的任意 $r+1$ 个行向量线性相关，任意 $r+1$ 个列向量线性相关。

4. 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

$$r(A)=n\Rightarrow |A|\ne 0;$$ $$r(A)<n\Rightarrow |A|=0.$$

5. 初等行变换、初等列变换均不改变矩阵的秩。

6. 转置不改变秩：

$$r(A^T)=r(A).$$

7. 若 $A$ 可逆，则

$$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B).$$

8. 相似矩阵、合同矩阵、等价矩阵的秩均相等：

$$A\sim B\Rightarrow r(A)=r(B);$$ $$A\simeq B\Rightarrow r(A)=r(B);$$ $$A\text{ 等价于 }B⟺r(A)=r(B).$$

其他性质

1. 秩的加法不等式：

$$r(A+B)\le r(A)+r(B).$$

2. 秩的乘法不等式：

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}.$$

3. Sylvester 不等式： 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵，则

$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n.$$

4. 若 $A$ 列满秩，则

$$r(AB)=r(B);$$

若 $B$ 行满秩，则

$$r(AB)=r(A).$$

5. 秩与 $A^{T}A$：

$$r(A^{T}A)=r(A)=r(A{A}^T).$$

6. 伴随矩阵的秩： 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}$$

7. 分块矩阵的秩：

$$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B).$$

分块三角矩阵满足

$$r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B).$$

8. 若 $A$ 可对角化，则

$$r(A)=\text{非零特征值的个数（含重数）}.$$

实对称矩阵一定可对角化，因此实对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

9. 若 $A$ 为幂等矩阵，即 $A^2=A$，则

$$r(A)=\mathrm{tr}(A).$$

10. 若 $A$ 为秩一矩阵，则

$$A=\alpha {\beta }^T,r(A)=1,$$

且

$$A^2=\mathrm{tr}(A)A.$$

11. 矩阵等价的充要条件： 同型矩阵 $A,B$ 等价

$$⟺r(A)=r(B).$$

题型与应用

1. 求矩阵的秩： 用初等行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行个数即为秩；也可通过求最高阶非零子式确定。

2. 求参数使矩阵的秩为指定值： 利用初等变换化行阶梯形，令非零行个数等于指定秩；或利用子式条件列方程。

3. 伴随矩阵的秩： 利用

   $$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2\end{array}$$

   判断或求参数，常见于选择题。

4. 解线性方程组： 比较 $r(A)$ 与 $r(A,b)$：

   $$r(A)<r(A,b)\Rightarrow \text{无解};$$ $$r(A)=r(A,b)=n\Rightarrow \text{唯一解};$$ $$r(A)=r(A,b)<n\Rightarrow \text{无穷多解}.$$

   并求基础解系。

5. 判断向量组线性相关性： 向量组线性无关

   $$⟺r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)=s;$$

   线性相关

   $$⟺r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)<s.$$

6. 证明秩不等式： 常用

   $$r(A+B)\le r(A)+r(B),$$ $$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\},$$ $$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n.$$

7. 分块矩阵的秩： 利用分块对角矩阵秩相加、分块三角矩阵秩不等式等处理综合题。

8. 综合题： 结合相似、合同、等价、可逆、特征值判断矩阵秩。注意：

   $$\text{相似}\Rightarrow r(A)=r(B),$$ $$\text{合同}\Rightarrow r(A)=r(B),$$ $$\text{等价}⟺r(A)=r(B).$$