分块矩阵

定义

将矩阵 $A$ 用若干条横线和竖线分成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 $A$ 的子块。以这些子块为元素的矩阵称为分块矩阵。例如

A = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}),

其中 $A_{ij}$ 为子块。分块方式不唯一。

常用分块矩阵：

分块对角矩阵： $diag (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k})$ ；

分块上（下）三角矩阵： $(A O B C)$ 或 $(A C O D)$ ；

按行分块、按列分块。

充要条件

分块矩阵相等：

(A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}) = (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22}) ⟺ A_{ij} = B_{ij} (\forall i, j) .

分块矩阵可加：两个分块矩阵可相加，当且仅当它们同型且分块方式完全相同。
分块矩阵可乘：

(A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}) (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22})

可乘，当且仅当左矩阵列的分块方式与右矩阵行的分块方式一致。

分块对角矩阵可逆：

diag (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}) 可逆 ⟺ A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k} 均可逆 .

分块三角矩阵可逆：

(A O B C) 可逆 ⟺ A, C 均可逆;

(A B O C) 可逆 ⟺ A, C 均可逆 .

分块对角矩阵的秩：

r (diag (A_{1}, \dots, A_{k})) = r (A_{1}) + \dots + r (A_{k}) .

分块对角、分块三角矩阵的行列式：

∣ diag (A_{1}, \dots, A_{k}) ∣ = ∣ A_{1} ∣ \dots ∣ A_{k} ∣;

(A O B C) = ∣ A ∣∣ C ∣; (A B O C) = ∣ A ∣∣ C ∣.

必要条件

分块矩阵相加时，若分块方式不同，则不能直接按块相加。
分块矩阵相乘时，若左矩阵列分块与右矩阵行分块不匹配，则不能直接按块相乘。
若分块对角矩阵

diag (A_{1}, \dots, A_{k})

可逆，则每个 $A_{i}$ 均可逆。

若分块三角矩阵

(A O B C)

可逆，则 $A, C$ 均可逆。

M = diag (A_{1}, \dots, A_{k}),

则

∣ M ∣ = ∣ A_{1} ∣ \dots ∣ A_{k} ∣, r (M) = r (A_{1}) + \dots + r (A_{k}),

tr (M) = tr (A_{1}) + \dots + tr (A_{k}) .

分块矩阵的转置：

(A C B D)^{T} = (A^{T} B^{T} C^{T} D^{T}) .

其他性质

分块矩阵乘法：

(A C B D) (E G F H) = (A E + B G C E + D G A F + B H C F + D H),

前提是各子块乘积有意义。

分块对角矩阵的逆：

diag (A_{1}, \dots, A_{k})^{- 1} = diag (A_{1}^{- 1}, \dots, A_{k}^{- 1}),

其中每个 $A_{i}$ 可逆。

分块对角矩阵的幂：

diag (A_{1}, \dots, A_{k})^{m} = diag (A_{1}^{m}, \dots, A_{k}^{m}) .

分块上三角矩阵的逆：

(A O B C)^{- 1} = (A^{- 1} O - A^{- 1} B C^{- 1} C^{- 1}),

其中 $A, C$ 可逆。

分块下三角矩阵的逆：

(A B O C)^{- 1} = (A^{- 1} - C^{- 1} B A^{- 1} O C^{- 1}),

其中 $A, C$ 可逆。

分块对角矩阵的特征值：

diag (A_{1}, \dots, A_{k})

的特征值为各子块 $A_{i}$ 的特征值的并集（含重数）。

分块三角矩阵的特征值：

(A O B C)

的特征值为 $A$ 与 $C$ 的特征值的并集（含重数）。

按列分块：若

A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}),

则线性方程组

A x = b ⟺ x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} = b .

按行分块：若

A = β_{1}^{T} β_{2}^{T} ⋮ β_{m}^{T},

则 $A x = b$ 可写为

β_{i}^{T} x = b_{i} (i = 1, 2, \dots, m) .

分块初等变换：对分块矩阵作初等行变换，相当于左乘相应的分块初等矩阵；作初等列变换，相当于右乘相应的分块初等矩阵。

题型与应用

分块矩阵乘法与转置： 验证分块是否可乘，按块相乘并转置。
分块矩阵求逆： 利用分块对角、分块三角求逆公式，快速求逆矩阵。
分块矩阵行列式： 利用
$(A O B C) = ∣ A ∣∣ C ∣$
或分块对角行列式公式计算。
分块矩阵的秩： 利用
$r (diag (A_{1}, \dots, A_{k})) = r (A_{1}) + \dots + r (A_{k})$
求秩或证明秩等式、不等式。
解矩阵方程： 将矩阵方程分块，转化为低阶矩阵方程，如
$(A O B C) (X Y) = (U V) .$
线性方程组与向量组： 按行、按列分块表示线性方程组，分析向量组的线性表示、线性相关性与秩。
特征值问题： 分块对角、分块三角矩阵的特征值为各主对角子块特征值的并集。
概念辨析题： 区分分块矩阵可加、可乘条件，注意分块方式必须匹配；分块矩阵求逆仅对特殊分块形式有简便公式。

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