实对称矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵。若

$$A^T=A$$

即 $a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n)$，则称 $A$ 为实对称矩阵。

充要条件

1. 按定义：

   $$A\text{ 为实对称矩阵}⟺A^T=A$$

2. 实矩阵 $A$ 可正交相似对角化：

   $$\exists \text{ 正交矩阵 }Q,Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$ $$⟺A\text{ 为实对称矩阵}$$

   其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的特征值。

3. 实对称矩阵 $A,B$ 相似：

   $$A\sim B⟺A,B\text{ 的特征值完全相同（含重数）}$$

4. 实对称矩阵 $A,B$ 合同：

   $$A\simeq B⟺A,B\text{ 的正惯性指数与负惯性指数分别相同}$$

   即二次型规范形相同。

5. 实对称矩阵 $A$ 正定：

   $$A\text{ 正定}⟺A\text{ 的特征值全为正}⟺A\text{ 的各阶顺序主子式全大于零}⟺A\text{ 合同于单位矩阵 }I⟺A\text{ 的正惯性指数为 }n$$

必要条件

1. 实对称矩阵一定可对角化：

   $$A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}$$

2. 特征值全为实数。

3. 属于不同特征值的特征向量相互正交：

   $${\lambda }_i\ne {\lambda }_j,A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i,A{\xi }_j={\lambda }_j{\xi }_j\Rightarrow {\xi }_i^T{\xi }_j=0$$

4. 迹等于特征值之和：

   $$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$

5. 行列式等于特征值之积：

   $$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$

6. 秩等于非零特征值的个数：

   $$r(A)=\#\{i\mid {\lambda }_i\ne 0\}$$

7. 若 $A$ 正定，则主对角元全大于零：

   $$a_{ii}>0(i=1,2,\cdots ,n)$$

其他性质

1. 实对称矩阵一定可合同对角化，即存在可逆矩阵 $C$，使

   $$C^{T}AC=\mathrm{diag}(d_1,\cdots ,d_n)$$

   进一步可合同于规范形

   $$\mathrm{diag}(I_p,-I_q,0)$$

   其中 $p$ 为正惯性指数，$q$ 为负惯性指数。惯性定理指出 $p,q$ 唯一确定。

2. 实对称矩阵的正、负惯性指数由其正、负特征值的个数决定。

3. 实对称矩阵的二次型可经正交变换化为标准形：

   $$x=Qy\Rightarrow x^{T}Ax={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

4. 对实对称矩阵：

   $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}$$

   但合同不一定相似。相似要求特征值相同，合同要求正负惯性指数相同。

5. 正交相似既是相似又是合同。

6. 实对称矩阵正定、负定、半正定、半负定的判定，均可由特征值符号或顺序主子式完成。

7. 若 $A$ 实对称且可逆，则 $A^{-1}$ 也实对称；若 $A$ 实对称，则 $A^k$ 也实对称。

8. 关系总结：

   $$\text{实对称矩阵}\Rightarrow \text{可正交相似对角化}\Rightarrow \text{可合同对角化}$$

   对实对称矩阵还有：

   $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}\Rightarrow \text{等价}$$

   但反向一般不成立。

谱分解定理

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵

$$Q=(q_1,q_2,\cdots ,q_n),Q^{T}Q=I$$

使得

$$A=Q\Lambda Q^T=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{q}_i{q}_i^T,\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$

其中 ${\lambda }_i$ 为 $A$ 的特征值，$q_i$ 为对应于 ${\lambda }_i$ 的标准正交特征向量，即

$$A{q}_i={\lambda }_i{q}_i,q_i^T{q}_j=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$$

等价地，

$$Q^{T}AQ=\Lambda ,A=Q\Lambda Q^T.$$

若特征值有重数，则在对应特征子空间中取标准正交基即可。

常用推论：

1. 投影形式：令

   $$P_i=q_i{q}_i^T$$

   则

   $$P_i^T=P_i,P_i^2=P_i,P_i{P}_j=0(i\ne j),$$ $$\sum _{i=1}^n{P}_i=I,A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{P}_i.$$

2. 矩阵幂与矩阵函数：

   $$A^k=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^k{q}_i{q}_i^T,$$ $$f(A)=\sum _{i=1}^{n}f({\lambda }_i)q_i{q}_i^T.$$

3. 二次型表示：

   $$x^{T}Ax=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(q_i^{T}x{)}^2.$$

4. 正定性判定：

   $$A\text{ 正定}⟺{\lambda }_i>0(i=1,2,\cdots ,n).$$

题型与应用

1. 正交相似对角化： 求实对称矩阵 $A$ 的特征值与特征向量，构造正交矩阵 $Q$，使

   $$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$

2. 谱分解与矩阵幂： 利用

   $$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{q}_i{q}_i^T$$

   求 $A^k$、$f(A)$ 或判断矩阵性质。

3. 二次型化标准形、规范形： 用正交变换或配方法将二次型化为标准形，并写出正、负惯性指数。

4. 判断正定性： 利用特征值全正、顺序主子式全正、合同于单位矩阵等充要条件判断。

5. 相似、合同辨析： 判断两个实对称矩阵是否相似、是否合同、是否等价，常通过比较特征值或正负惯性指数解决。

6. 求参数： 已知实对称矩阵相似或合同，利用特征值相同、迹相等、行列式相等、正负惯性指数相同等列方程求参数。

7. 证明题： 证明不同特征值对应的特征向量正交；证明实对称矩阵可正交对角化；证明正定矩阵合同于单位矩阵等。