伴随矩阵

定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为 $n$ 阶方阵（$n\ge 2$），$A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij},$$

其中 $M_{ij}$ 为划去 $a_{ij}$ 所在第 $i$ 行与第 $j$ 列后所得 $n-1$ 阶子式。称矩阵

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=(A_{ij}{)}^T$$

为 $A$ 的伴随矩阵。

伴随矩阵的核心恒等式为

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I.$$

当 $|A|\ne 0$ 时，

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }.$$

考研中常与逆矩阵、行列式、矩阵的秩、特征值等结合考查。

充要条件

1. 按定义：

$$A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T,$$

其中 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式。

2. 核心恒等式：

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I.$$

3. $A$ 可逆的充要条件：

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0⟺A^{\ast }\text{ 可逆}.$$

且

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }.$$

4. 伴随矩阵的秩的充要条件：

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}$$

5. $A^{\ast }=O$ 的充要条件：

$$A^{\ast }=O⟺r(A)\le n-2.$$

6. $r(A^{\ast })=1$ 的充要条件：

$$r(A^{\ast })=1⟺r(A)=n-1.$$

7. $A^{\ast }$ 可逆的充要条件：

$$A^{\ast }\text{ 可逆}⟺r(A^{\ast })=n⟺r(A)=n⟺|A|\ne 0.$$

必要条件

1. $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{\ast }$ 也为 $n$ 阶方阵。

2. 恒有

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I.$$

3. 行列式关系：

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}.$$

特别地，若 $|A|=0$，则 $|A^{\ast }|=0$。

4. 秩关系：

$$r(A^{\ast })\le 1\text{若 }r(A)\le n-1.$$

5. 若 $A$ 可逆，则

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A.$$

6. 若 $A$ 可逆，则 $A^{\ast }$ 可逆，且

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}\ne 0.$$

7. 特征值关系：若 $A$ 可逆，且 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则

$$\frac{|A|}{\lambda }$$

为 $A^{\ast }$ 的特征值（对应同一特征向量）。

8. 若 $A$ 不可逆，则 $0$ 是 $A$ 的特征值；此时 $A^{\ast }$ 的特征值情况需结合秩讨论，考研一般不作深入要求。

其他性质

1. 转置关系：

$$(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T.$$

2. 数乘关系：

$$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }(k\in \mathbb{R}).$$

3. 乘积关系：

$$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }.$$

4. 伴随的伴随：

$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 2).$$

特别地，当 $n=2$ 时，

$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=A.$$

5. 若 $A$ 可逆，则

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},$$ $$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A,$$ $$(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A.$$

6. 若 $A$ 可逆，则

$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A.$$

7. 对角矩阵的伴随矩阵： 若

$$A=\mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots ,d_n),$$

则

$$A^{\ast }=\mathrm{diag}\left(\prod _{i\ne 1}{d}_i,\prod _{i\ne 2}{d}_i,\cdots ,\prod _{i\ne n}{d}_i\right).$$

特别地，若 $A$ 可逆，

$$A^{\ast }=|A|\mathrm{diag}\left(\frac{1}{d_1},\cdots ,\frac{1}{d_n}\right).$$

8. 若 $A$ 为正交矩阵，则

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}=|A|A^T.$$

且 $A^{\ast }$ 也为正交矩阵。

9. 若 $A$ 为实对称矩阵，则 $A^{\ast }$ 也为实对称矩阵。

10. 关系总结：

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0⟺r(A)=n⟺r(A^{\ast })=n.$$ $$r(A)=n-1⟺r(A^{\ast })=1.$$ $$r(A)\le n-2⟺A^{\ast }=O.$$

题型与应用

1. 求伴随矩阵： 先求所有代数余子式 $A_{ij}$，再按转置排列得到

$$A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T.$$

也可利用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$（当 $A$ 可逆时）快速求。

2. 利用伴随矩阵求逆： 若 $|A|\ne 0$，则

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }.$$

常用于求逆矩阵或解矩阵方程。

3. 求行列式： 利用

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

快速计算 $|A^{\ast }|$，或结合 $|A|$ 求参数。

4. 求矩阵的秩： 利用秩的充要条件：

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}$$

这是选择题和填空题的高频考点。

5. 求参数： 已知 $r(A^{\ast })$ 或 $A^{\ast }$ 的性质，反推 $r(A)$ 或 $|A|$，进而求参数。例如：

   • $A^{\ast }=O$ 推出 $r(A)\le n-2$；
   • $r(A^{\ast })=1$ 推出 $r(A)=n-1$；
   • $A^{\ast }$ 可逆推出 $|A|\ne 0$。

6. 证明题： 证明

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I;$$

证明

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1};$$

证明

$$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast };$$

证明伴随矩阵的秩定理等。

7. 与特征值结合： 若 $A$ 可逆，$\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则

$$\frac{|A|}{\lambda }$$

为 $A^{\ast }$ 的特征值。可用于求 $A^{\ast }$ 的特征值、行列式或迹。

8. 概念辨析题： 区分“伴随矩阵”“逆矩阵”“转置矩阵”“代数余子式矩阵”。注意：

$$A^{\ast }\ne (A_{ij})$$

而是

$$A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T.$$

同时注意 $A^{\ast }$ 与 $A^{-1}$ 的关系仅在 $A$ 可逆时成立。