正交矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵。若

$$A^{T}A=A{A}^T=I$$

则称 $A$ 为正交矩阵。等价地，

$$A^{-1}=A^T.$$

正交矩阵对应正交变换，保持向量内积、长度、夹角不变。其列（行）向量组构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基。

充要条件

1. 按定义：

$$A\text{ 为正交矩阵}⟺A^{T}A=I⟺A{A}^T=I⟺A^{-1}=A^T.$$

2. 列向量组条件：设

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n),$$

则

$$A\text{ 为正交矩阵}⟺{\alpha }_i^T{\alpha }_j={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$$

即列向量组为标准正交基。

3. 行向量组条件：设

$$A=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1^T\\ {\beta }_2^T\\ ⋮\\ {\beta }_n^T\end{array}\right),$$

则

$$A\text{ 为正交矩阵}⟺{\beta }_i^T{\beta }_j={\delta }_{ij}.$$

即行向量组为标准正交基。

4. 保持内积：

$$A\text{ 为正交矩阵}⟺\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n,(Ax{)}^T(Ay)=x^{T}y.$$

特别地，

$$\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert .$$

必要条件

1. $A$ 必为可逆矩阵，且

$$r(A)=n.$$

2. 行列式满足

$$|A|=\pm 1.$$

反之不成立，即 $|A|=\pm 1$ 不一定正交。

3. 特征值满足：若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则

$$|\lambda |=1.$$

若 $\lambda$ 为实特征值，则

$$\lambda =\pm 1.$$

4. 复特征值成共轭对出现。

5. 若 $n$ 为奇数，则 $A$ 至少有一个实特征值 $\pm 1$。

6. 若 $A$ 正交，则

$$A^{-1}=A^T$$

也正交。

其他性质

1. 正交矩阵的转置、逆、乘积仍为正交矩阵：

$$A^T,A^{-1},AB$$

均正交。

2. 正交矩阵的伴随矩阵：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}=|A|A^T$$

也为正交矩阵。

3. 正交变换保持内积、长度、距离、夹角：

$$(Ax{)}^T(Ay)=x^{T}y,\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert .$$

4. 正交矩阵对应的线性变换是保距变换，不改变向量的几何长度。

5. 若 $A$ 为实对称正交矩阵，则

$$A^T=A,A^{T}A=I\Rightarrow A^2=I.$$

此时 $A$ 的特征值只能为 $\pm 1$，且可正交对角化：

$$A=Q\mathrm{diag}(\pm 1,\cdots ,\pm 1)Q^T.$$

6. 正交矩阵不一定可实对角化。例如旋转矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

当 $\theta \ne 0,\pi$ 时无实特征值。

7. 正交矩阵与实对称矩阵的关系：实对称矩阵可通过正交矩阵正交相似对角化：

$$Q^{T}AQ=\Lambda ,Q\text{ 为正交矩阵}.$$

8. 正交矩阵的行列式 $|A|=1$ 称为第一类正交矩阵（旋转），$|A|=-1$ 称为第二类正交矩阵（反射）。考研中一般不深入分类。

题型与应用

1. 判断正交矩阵： 验证 $A^{T}A=I$ 或 $A{A}^T=I$，或验证列（行）向量组是否标准正交。

2. 求正交矩阵与正交对角化： 对实对称矩阵，求特征值与特征向量，经施密特正交化、单位化，构造正交矩阵 $Q$，使

$$Q^{T}AQ=\Lambda .$$

3. 二次型正交变换化标准形： 令 $x=Qy$，其中 $Q$ 为正交矩阵，将二次型化为

$$x^{T}Ax={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2.$$

4. 求参数： 已知 $A$ 为正交矩阵，利用 $A^{T}A=I$、列向量标准正交、$|A|=\pm 1$、特征值模为 $1$ 等条件求参数。

5. 证明题： 证明正交矩阵行列式为 $\pm 1$；证明正交矩阵特征值模为 $1$；证明实对称正交矩阵满足 $A^2=I$；证明正交变换保持内积、长度不变。

6. 概念辨析题： 区分正交矩阵、实对称矩阵、正交相似、合同、等价等关系。注意：正交矩阵不一定对称，实对称矩阵不一定正交。