逆矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得

$$AB=BA=I$$

则称 $A$ 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作

$$B=A^{-1}.$$

若不存在这样的 $B$，则称 $A$ 为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。

可逆矩阵必为方阵。逆矩阵若存在，则必唯一。考研中常与行列式、秩、特征值、线性方程组、矩阵方程、相似合同等结合考查。

充要条件

1. 按定义：

$$A\text{ 可逆}⟺\exists B,AB=BA=I$$

2. 行列式条件：

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0$$

3. 秩条件：

$$A\text{ 可逆}⟺r(A)=n$$

即 $A$ 为满秩矩阵。

4. 等价标准形条件：

$$A\text{ 可逆}⟺A\text{ 等价于单位矩阵 }I$$

即 $A$ 可经有限次初等变换化为 $I$。

5. 初等矩阵乘积条件：

$$A\text{ 可逆}⟺A\text{ 可表示为有限个初等矩阵的乘积}$$

6. 齐次线性方程组条件：

$$A\text{ 可逆}⟺Ax=0\text{ 只有零解}$$

7. 非齐次线性方程组条件：

$$A\text{ 可逆}⟺\forall b\in {\mathbb{R}}^n,Ax=b\text{ 有唯一解}$$

8. 列（行）向量组条件：

$$A\text{ 可逆}⟺A\text{ 的列向量组线性无关}⟺A\text{ 的行向量组线性无关}$$

9. 特征值条件：

$$A\text{ 可逆}⟺0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}⟺A\text{ 的特征值全不为零}$$

10. 伴随矩阵条件：

$$A\text{ 可逆}⟺A^{\ast }\text{ 可逆}$$

且

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }.$$

必要条件

1. $A$ 必为 $n$ 阶方阵。

2. 行列式非零：

$$|A|\ne 0.$$

3. 秩为 $n$：

$$r(A)=n.$$

4. 特征值全不为零。

5. 行向量组、列向量组均线性无关。

6. 齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解。

7. 零不是 $A$ 的特征值。

8. 若 $A$ 可逆且 $A\sim B$，则 $B$ 可逆；若 $A$ 可逆且 $A\simeq B$，则 $B$ 可逆。

其他性质

1. 逆矩阵唯一：

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A.$$

2. 乘积的逆：

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}.$$

更一般地，

$$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}.$$

3. 转置的逆：

$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T.$$

4. 数乘的逆：

$$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}(k\ne 0).$$

5. 行列式关系：

$$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}.$$

6. 伴随矩阵关系：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }.$$

7. 幂的逆：

$$(A^k{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^k.$$

8. 若 $A$ 可逆，则对任意正整数 $k$，

$$A^k\text{ 可逆}.$$

9. 初等矩阵均可逆，且其逆仍为同类型初等矩阵。

10. 对角矩阵可逆：

$$\mathrm{diag}(d_1,\cdots ,d_n)\text{ 可逆}⟺d_i\ne 0(i=1,\cdots ,n)$$

且

$$\mathrm{diag}(d_1,\cdots ,d_n{)}^{-1}=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{d_1},\cdots ,\frac{1}{d_n}\right).$$

11. 分块对角矩阵可逆：

$$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\text{ 可逆}⟺A,B\text{ 均可逆},$$

且

$${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right).$$

12. 可逆性与相似、合同：

$$A\sim B,A\text{ 可逆}\Rightarrow B\text{ 可逆};$$ $$A\simeq B,A\text{ 可逆}\Rightarrow B\text{ 可逆}.$$

题型与应用

1. 判断矩阵可逆性： 计算行列式是否非零，或求秩是否为 $n$，或判断特征值是否全非零。

2. 求逆矩阵： 常用方法：

   • 伴随矩阵法： $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast };$$
   • 初等行变换法： $$(A\mid I)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }(I\mid A^{-1});$$
   • 分块求逆： $${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right).$$

3. 解矩阵方程：

   • 若 $A$ 可逆，则 $$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B;$$ $$XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1};$$ $$AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}.$$

4. 求参数使矩阵可逆： 令 $|A|\ne 0$ 或 $r(A)=n$，解参数不等式。

5. 利用可逆性证明： 证明 $AB=I\Rightarrow BA=I$；证明可逆矩阵的乘积可逆；证明可逆矩阵与单位矩阵等价。

6. 概念辨析题： 区分“可逆、满秩、行列式非零、特征值全非零、行（列）向量线性无关”等等价条件。注意：

   $$\text{可逆}⟺|A|\ne 0⟺r(A)=n⟺0\text{ 不是特征值}.$$

   但迹非零、主对角元全非零均不能推出可逆。