转置矩阵

定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则其转置矩阵 $A^T$ 为 $n\times m$ 矩阵，定义为

$$(A^T{)}_{ij}=a_{ji}(i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,m).$$

即把 $A$ 的行换成同序号的列，列换成同序号的行。

转置是最基本的矩阵运算之一，常与对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、二次型、矩阵乘法、逆矩阵、伴随矩阵等结合考查。

充要条件

1. 按定义：

$$(A^T{)}_{ij}=a_{ji}.$$

2. $A$ 为对称矩阵：

$$A^T=A⟺a_{ij}=a_{ji}(\forall i,j).$$

3. $A$ 为反对称矩阵：

$$A^T=-A⟺a_{ij}=-a_{ji}(\forall i,j),$$

且主对角元全为零。

4. $A$ 为正交矩阵（实方阵）：

$$A^{T}A=A{A}^T=I⟺A^{-1}=A^T.$$

5. $A$ 可逆：

$$A\text{ 可逆}⟺A^T\text{ 可逆},$$

且

$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T.$$

6. 秩相等：

$$r(A^T)=r(A).$$

7. 特征多项式相同（方阵）：

$$|\lambda I-A^T|=|\lambda I-A|.$$

因此 $A$ 与 $A^T$ 有相同特征值（含代数重数）。

必要条件

1. 若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 $A^T$ 为 $n\times m$ 矩阵。

2. 若 $A$ 为方阵，则

$$|A^T|=|A|.$$

3. 若 $A$ 为方阵，则

$$\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A).$$

4. 若 $A$ 为方阵，则

$$r(A^T)=r(A).$$

5. 若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 也为 $A^T$ 的特征值。

6. 若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 可逆，且

$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T.$$

7. 若 $A$ 为实对称矩阵，则

$$A^T=A.$$

若 $A$ 为正交矩阵，则

$$A^T=A^{-1}.$$

其他性质

1. 双重转置：

$$(A^T{)}^T=A.$$

2. 加法转置：

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T.$$

3. 数乘转置：

$$(kA{)}^T=k{A}^T.$$

4. 乘法转置：

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T.$$

更一般地，

$$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^T=A_k^T\cdots A_2^T{A}_1^T.$$

5. 逆的转置：

$$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}.$$

6. 伴随的转置：

$$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }.$$

7. 行列式与迹：

$$|A^T|=|A|,\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A).$$

8. 转置与秩：

$$r(A^T)=r(A).$$

9. 转置与特征值：

$$\lambda \text{ 为 }A\text{ 的特征值}⟺\lambda \text{ 为 }{A}^T\text{ 的特征值}.$$

但对应特征向量一般不同。

10. 任意方阵可分解为对称矩阵与反对称矩阵之和：

$$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2},$$

其中 $\frac{A+A^T}{2}$ 为对称矩阵，$\frac{A-A^T}{2}$ 为反对称矩阵。

11. 二次型对称化：

$$x^{T}Ax=x^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)x.$$

因此二次型对应的矩阵总可取为实对称矩阵。

12. 分块矩阵转置：

$${\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}{A}^T& C^T\\ B^T& D^T\end{array}\right).$$

题型与应用

1. 求转置矩阵： 按定义将行、列互换，或直接利用运算性质计算。

2. 判断对称、反对称、正交矩阵： 验证

   $$A^T=A,A^T=-A,A^{T}A=I.$$

3. 利用转置证明秩等式： 常用

   $$r(A^{T}A)=r(A)=r(A{A}^T).$$

   证明线性方程组 $Ax=0$ 与 $A^{T}Ax=0$ 同解。

4. 二次型化为对称矩阵： 对二次型 $x^{T}Ax$，其矩阵可取

   $$\frac{A+A^T}{2}.$$

5. 矩阵方程转置： 对方程两边同时转置，结合

   $$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

   进行求解或证明。

6. 计算行列式、迹、秩、特征值： 利用

   $$|A^T|=|A|,\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A),r(A^T)=r(A)$$

   以及特征多项式相同来简化问题。

7. 证明题： 证明

   $$(AB{)}^T=B^T{A}^T,(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1},(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }.$$

8. 概念辨析题： 注意 $A^T$ 与 $A^{-1}$、$A^{\ast }$ 不同；转置不改变行列式、迹、秩、特征值，但一般改变特征向量；$A$ 与 $A^T$ 不一定相等，相等时为对称矩阵。