矩阵的行列式

定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为 $n$ 阶方阵，其行列式记作 $|A|$ 或 $\det A$，定义为所有取自不同行、不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和：

$$|A|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n},$$

其中 $j_1{j}_2\cdots j_n$ 取遍所有 $n$ 级排列，$\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ 为该排列的逆序数。

行列式是方阵的一个数值。考研中常用其性质、按行（列）展开、化三角、递推、范德蒙德行列式等计算。行列式与矩阵可逆、秩、线性方程组、特征值、伴随矩阵密切相关。

充要条件

1. 方阵 $A$ 可逆：

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0⟺r(A)=n⟺A\text{ 的列（行）向量组线性无关}$$ $$⟺Ax=0\text{ 只有零解}⟺0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}.$$

2. 方阵 $A$ 不可逆：

$$A\text{ 不可逆}⟺|A|=0⟺r(A)<n⟺A\text{ 的列（行）向量组线性相关}$$ $$⟺Ax=0\text{ 有非零解}⟺0\text{ 是 }A\text{ 的特征值}.$$

3. 克拉默法则： 若 $n$ 元线性方程组 $Ax=b$ 的系数行列式

$$|A|\ne 0,$$

则方程组有唯一解

$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|}(i=1,2,\cdots ,n),$$

其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列换成 $b$ 后得到的矩阵。

4. 三角、对角行列式：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}.$$ $$\left|\mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots ,d_n)\right|=d_1{d}_2\cdots d_n.$$

5. 分块对角、分块三角行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|,\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|.$$

必要条件

1. 若 $|A|\ne 0$，则 $A$ 必为满秩、可逆矩阵。

2. 若 $A$ 可逆，则

$$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}.$$

3. 若 $A$ 有零特征值，则

$$|A|=0.$$

更一般地，

$$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i,$$

其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的全部特征值（含代数重数）。

4. 若 $A$ 有两行（列）相同或成比例，则

$$|A|=0.$$

5. 若 $A$ 有一行（列）全为零，则

$$|A|=0.$$

6. 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

$$|A^T|=|A|.$$

7. 若 $A$ 为正交矩阵，则

$$|A|=\pm 1.$$

8. 若 $A$ 为幂零矩阵，则

$$|A|=0.$$

其他性质

1. 转置不变：

$$|A^T|=|A|.$$

2. 数乘：

$$|kA|=k^n|A|.$$

3. 乘法：

$$|AB|=|A||B|.$$

但一般

$$|A+B|\ne |A|+|B|.$$

4. 初等变换对行列式的影响：

• 交换两行（列），行列式变号；
• 某行（列）乘 $k$，行列式乘 $k$；
• 某行（列）加另一行（列）的 $k$ 倍，行列式不变。

5. 按行（列）展开：

$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},$$

其中 $A_{ij}$ 为代数余子式。异乘变零：

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0(i\ne k).$$

6. 伴随矩阵：

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I,$$ $$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}.$$

7. 分块行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|,\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|.$$

8. 范德蒙德行列式：

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$

9. 若 $A$ 可逆，则

$$|A^{-1}|=|A{|}^{-1},|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}.$$

10. 特征值表示：

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n.$$

11. 相似、合同与行列式：

$$A\sim B\Rightarrow |A|=|B|.$$

合同矩阵不一定有相同行列式，但若 $A\simeq B$，则存在可逆矩阵$C$，使

$$B=C^{T}AC,$$

从而

$$|B|=|C{|}^2|A|.$$

题型与应用

1. 数字行列式计算： 常用方法：

   • 化上（下）三角；
   • 按行（列）展开；
   • 递推法；
   • 加边法；
   • 利用范德蒙德行列式。

2. 抽象行列式计算： 利用性质

   $$|AB|=|A||B|,|kA|=k^n|A|,|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1},$$

   计算 $|A+B|$、$|A^{\ast }|$、$|A^{-1}|$、$|AB|$ 等。

3. 求参数： 令 $|A|=0$ 或 $|A|\ne 0$，列方程求参数；或利用可逆、满秩、线性无关等条件求参数范围。

4. 克拉默法则： 当系数行列式非零时，求线性方程组的唯一解，或证明解的唯一性。

5. 证明题： 证明行列式恒等式、不等式；证明

   $$|AB|=|A||B|,|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1};$$

   证明范德蒙德行列式；证明行列式为零的判定条件。

6. 与特征值结合： 利用

   $$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$

   求行列式或特征值之积；结合迹

   $$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$

   综合求解。

7. 与伴随矩阵、逆矩阵结合： 利用

   $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

   求逆、求行列式或求参数。

8. 概念辨析题： 区分 $|A|=0$ 与 $A=O$；区分 $|A+B|$ 与 $|A|+|B|$；注意

   $$|A|=0\nRightarrow A=O,$$ $$|A+B|\ne |A|+|B|.$$