相似矩阵

定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵。若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{-1}AP=B$$

则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$。可逆矩阵 $P$ 称为相似变换矩阵。

相似是线性变换在不同基下矩阵之间的关系：同一个线性变换在不同基下的矩阵彼此相似。

充要条件

1. 按定义：存在可逆矩阵 $P$，使 $$P^{-1}AP=B$$
2. $A$ 与对角矩阵 $$\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$ 相似 $$⟺A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}⟺A\text{ 可对角化}$$ 且 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的 $n$ 个特征值（含重数）。
3. 实对称矩阵 $A,B$ 相似 $$⟺A,B\text{ 的特征值完全相同}$$
4. 若 $A,B$ 均可对角化，则 $$A\sim B⟺A,B\text{ 有相同的特征值}$$

必要条件

1. $A,B$ 必为同阶方阵。
2. 特征多项式相同： $$|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$$ 从而特征值相同（含重数）。
3. 迹相等： $$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$$
4. 行列式相等： $$|A|=|B|$$
5. 秩相等： $$r(A)=r(B)$$
6. 对每个特征值 $\lambda$，几何重数相同： $$\dim \ker (\lambda I-A)=\dim \ker (\lambda I-B)$$
7. 若 $A$ 可逆，则 $B$ 也可逆，且 $$A^{-1}\sim B^{-1}$$

其他性质

1. 相似关系是等价关系，具有自反性、对称性、传递性。
2. 相似矩阵有相同的特征值、特征多项式、迹、行列式、秩。
3. 若 $A\sim B$，则对任意多项式 $f(x)$， $$f(A)\sim f(B)$$ 特别地， $$A^k\sim B^k$$
4. 若 $A\sim B$ 且 $A$ 可逆，则 $$A^{-1}\sim B^{-1},A^{\ast }\sim B^{\ast }$$
5. 实对称矩阵一定可正交相似对角化：存在正交矩阵 $Q$，使 $$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$
6. 对实对称矩阵： $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}$$ 但合同不一定相似。相似要求特征值相同，合同要求正负惯性指数相同。
7. 相似不改变矩阵的固有代数性质，如可逆性、特征值、秩等。

题型与应用

1. 判断相似与可对角化：
   判断矩阵是否可对角化，求可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=\Lambda$。

2. 利用相似必要条件求参数：
   已知 $A\sim B$，利用迹相等、行列式相等、特征值相同、秩相等等条件列方程求参数。

3. 计算矩阵的高次幂或矩阵函数：
   若 $A\sim \Lambda$，则

   $$A=P\Lambda P^{-1},A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$$

   常用于求 $A^n$、$e^A$ 等。

4. 概念辨析题：
   比较“等价、相似、合同”的关系，尤其对实对称矩阵：

   $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}\Rightarrow \text{等价}$$

   但反向一般不成立。

5. 证明题：
   证明相似矩阵具有相同特征多项式、相同迹、相同行列式、相同秩等；或证明实对称矩阵相似当且仅当特征值相同。