对角矩阵

定义

主对角线以外的元素全为零的 $n$ 阶方阵称为对角矩阵，记作

$$\Lambda =\mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots ,d_n)=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right)$$

其中 $d_1,d_2,\cdots ,d_n$ 为对角元。

对角矩阵是特殊的实对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵。考研中常与“矩阵可相似对角化”结合考查。

充要条件

1. 矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为对角矩阵

   $$⟺a_{ij}=0(i\ne j)$$

2. $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化

   $$⟺A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}$$ $$⟺A\text{ 的每个特征值的几何重数等于其代数重数}$$

3. 实对称矩阵 $A$ 一定可正交相似对角化：

   $$\exists \text{ 正交矩阵 }Q,Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$

   其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的特征值。

4. $A$ 与对角矩阵相似

   $$⟺A\text{ 可对角化}$$

必要条件

1. 对角矩阵必为对称矩阵：

   $${\Lambda }^T=\Lambda$$

2. 对角矩阵的秩等于非零对角元的个数：

   $$r(\Lambda )=\#\{i\mid d_i\ne 0\}$$

3. 对角矩阵可逆

   $$⟺d_i\ne 0(i=1,2,\cdots ,n)$$

4. 对角矩阵的特征值就是其对角元素：

   $${\lambda }_i=d_i(i=1,2,\cdots ,n)$$

5. 若 $A$ 可相似对角化，则 $A$ 有 $n$ 个特征值（含重数），且对每个特征值，几何重数不超过代数重数。

其他性质

1. 同阶对角矩阵的加法、数乘、乘法均按对应元素运算：

   $$\mathrm{diag}(a_i)+\mathrm{diag}(b_i)=\mathrm{diag}(a_i+b_i)$$ $$\mathrm{diag}(a_i)\mathrm{diag}(b_i)=\mathrm{diag}(a_i{b}_i)$$

2. 对角矩阵的幂：

   $${\Lambda }^k=\mathrm{diag}(d_1^k,d_2^k,\cdots ,d_n^k)$$

3. 对角矩阵的行列式：

   $$|\Lambda |=d_1{d}_2\cdots d_n$$

4. 若 $\Lambda$ 可逆，则

   $${\Lambda }^{-1}=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\cdots ,\frac{1}{d_n}\right)$$

5. 对角矩阵的多项式：

   $$f(\Lambda )=\mathrm{diag}(f(d_1),f(d_2),\cdots ,f(d_n))$$

6. 两个同阶对角矩阵一定可交换。

7. 若 $P^{-1}AP=\Lambda$，则

   $$A=P\Lambda P^{-1},A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$$

   常用于求矩阵的高次幂。

8. 关系总结：

   $$\text{实对称矩阵}\Rightarrow \text{可正交相似对角化}$$ $$\text{可对角化}\Rightarrow \text{相似于对角矩阵}$$

   但一般矩阵不一定可对角化。

题型与应用

1. 判断矩阵是否可对角化： 求特征值，比较每个特征值的几何重数与代数重数；若相等，则可对角化。

2. 求相似变换矩阵与对角矩阵： 求 $A$ 的 $n$ 个线性无关特征向量 $p_1,\cdots ,p_n$，令

   $$P=(p_1,\cdots ,p_n),P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$

3. 实对称矩阵正交对角化： 求特征值，对每个特征值求正交单位特征向量，构造正交矩阵 $Q$，使

   $$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$

4. 计算矩阵的高次幂： 若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则

   $$A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$$

5. 概念辨析题： 比较“对角矩阵、可对角化、相似、合同、等价”等关系，注意：

   $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}\Rightarrow \text{等价}$$

   对实对称矩阵成立，但反向一般不成立。