中心极限定理

属于：大数定律与中心极限定理

独立同分布中心极限定理

• 条件：$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，期望 $E(X_i)=\mu$，方差 $D(X_i)={\sigma }^2>0$。
• 结论：当 $n$ 很大时，和 $\sum X_i$ 或均值 $\bar{X}$ 标准化后趋近于 $N(0,1)$：

${\lim }_{n\to \infty }P\left(\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\right)=\Phi (x)$

二项分布的正态近似

• 条件：$Y_n\sim B(n,p)$。
• 结论：因为 $Y_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$（其中 $X_i\sim B(1,p)$），当 $n$ 很大时：

${\lim }_{n\to \infty }P\left(\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right)=\Phi (x)$