幂零矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在正整数 $k$，使得

$$A^k=O$$

则称 $A$ 为幂零矩阵。使 $A^k=O$ 成立的最小正整数 $k$ 称为 $A$ 的幂零指数。

零矩阵是幂零矩阵，幂零指数为 $1$。考研中常与特征值、迹、行列式、可逆性、矩阵高次幂、$(I-A{)}^{-1}$ 等结合考查。

充要条件

1. 按定义：

$$A\text{ 为幂零矩阵}⟺\exists k\in {\mathbb{N}}_{+},A^k=O.$$

2. 特征值条件（在复数域上）：

$$A\text{ 为幂零矩阵}⟺A\text{ 的特征值全为 }0\text{（含代数重数）}.$$

3. 特征多项式条件：

$$A\text{ 为幂零矩阵}⟺A\text{ 的特征多项式为 }f(\lambda )={\lambda }^n.$$

4. $n$ 阶矩阵的幂零指数不超过 $n$：

$$A\text{ 为幂零矩阵}⟺A^n=O.$$

因此对 $n$ 阶矩阵，若存在 $k$ 使 $A^k=O$，则必有 $A^n=O$。

5. 若 $A$ 幂零，则对任意可逆矩阵 $P$，

$$P^{-1}AP$$

也幂零，且幂零指数相同。

必要条件

1. 特征值全为 $0$（含重数）。

2. 迹为零：

$$\mathrm{tr}(A)=0.$$

3. 行列式为零：

$$|A|=0.$$

4. 秩小于 $n$：

$$r(A)<n.$$

5. 不可逆（零矩阵也不可逆）。

6. 对任意正整数 $m$，有

$$\mathrm{tr}(A^m)=0.$$

7. 若 $A\ne O$，则 $A$ 不可对角化。 即非零幂零矩阵一定不是可对角化矩阵。

8. 若 $A^k=O$，则

$$I-A\text{ 可逆，且 }(I-A{)}^{-1}=I+A+A^2+\cdots +A^{k-1}.$$

其他性质

1. 幂零矩阵的转置、数乘、任意正整数次幂仍为幂零矩阵。

2. 若 $A$ 幂零，则

$$A^m=O(m\ge k),$$

其中 $k$ 为幂零指数。

3. 若 $A,B$ 均为幂零矩阵且

$$AB=BA,$$

则 $A+B$ 也幂零。 但 $AB=BA$ 不可省略。

4. 若 $A$ 幂零，则 $A$ 的秩随幂次递减：

$$r(A)\ge r(A^2)\ge r(A^3)\ge \cdots .$$

5. 若 $A$ 幂零，则 $A$ 的谱半径为零，即所有特征值均为 $0$。

6. 二阶矩阵 $A$ 幂零的充要条件为

$$\mathrm{tr}(A)=0,|A|=0.$$

此时

$$A^2=O.$$

7. 三阶及以上矩阵，$\mathrm{tr}(A)=0$ 且 $|A|=0$ 不能推出 $A$ 幂零。例如

$$A=\mathrm{diag}(1,-1,0),$$

有 $\mathrm{tr}(A)=0,|A|=0$，但 $A$ 不是幂零矩阵。

8. 若 $A$ 幂零，则 $A$ 的特征值全为 $0$，但特征值全为 $0$ 的矩阵不一定可对角化，除零矩阵外均不可对角化。

题型与应用

1. 判断矩阵是否幂零： 验证是否存在 $k$ 使 $A^k=O$；或求特征值，判断是否全为 $0$；或求特征多项式是否为 ${\lambda }^n$。

2. 求参数使矩阵幂零： 利用特征值全为 $0$、特征多项式为 ${\lambda }^n$、迹为 $0$、行列式为 $0$ 等列方程。注意高阶时仅用迹和行列式不够。

3. 计算 $(I-A{)}^{-1}$： 若已知 $A^k=O$，则

   $$(I-A{)}^{-1}=I+A+A^2+\cdots +A^{k-1}.$$

   这是高频计算题。

4. 证明非零幂零矩阵不可对角化： 利用“特征值全为 $0$”和“可对角化则相似于零矩阵”推出矛盾。

5. 矩阵高次幂： 若 $A$ 幂零，则当 $m$ 足够大时

   $$A^m=O.$$

   可用于简化含 $A$ 的矩阵表达式或求逆。

6. 概念辨析题： 区分“幂零”“迹为零”“行列式为零”“不可逆”“特征值全为零”。注意：

   $$\text{幂零}\Rightarrow \mathrm{tr}(A)=0,|A|=0,\text{特征值全为 }0,$$

   但反向一般不成立（二阶除外）。