合同矩阵

定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵。若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{T}AC=B$$

则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$。

合同矩阵主要讨论实对称矩阵。此时 $A$ 与 $B$ 合同等价于它们所对应的二次型 $x^{T}Ax$ 与 $x^{T}Bx$ 可经非退化线性替换互化。

充要条件

1. 按定义：存在可逆矩阵 $C$，使 $$C^{T}AC=B$$
2. 对实对称矩阵 $A,B$： $$A\text{ 与 }B\text{ 合同}⟺A,B\text{ 的正惯性指数与负惯性指数分别相同}$$ 即它们的二次型规范形相同： $$\mathrm{diag}(1,\cdots ,1,-1,\cdots ,-1,0,\cdots ,0)$$ 中 $1$ 的个数 $p$、$-1$ 的个数 $q$ 分别相等。
3. 实对称矩阵 $A$ 正定 $$⟺A\text{ 合同于单位矩阵 }I$$

必要条件

1. $A,B$ 必为同阶方阵。
2. 秩相等： $$r(A)=r(B)$$
3. 若 $A$ 为实对称矩阵，则 $B$ 也必为实对称矩阵。
4. 正定性、负定性、半正定性在合同变换下保持： 若 $A$ 正定且 $A\simeq B$，则 $B$ 也正定。
5. 若 $A,B$ 均可逆且合同，则 $$\det (B)=(\det C{)}^2\det (A)$$ 因此 $\det (A)$ 与 $\det (B)$ 同号。

其他性质

1. 合同关系是等价关系，具有自反性、对称性、传递性。
2. 实对称矩阵一定可合同对角化，即可合同于对角矩阵，进一步可合同于规范形 $$\mathrm{diag}(I_p,-I_q,0)$$ 其中 $p$ 为正惯性指数，$q$ 为负惯性指数。惯性定理指出 $p,q$ 唯一确定。
3. 合同不保持特征值，也不要求相似。 对实对称矩阵而言： $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}$$ 但合同不一定相似。例如 $$\mathrm{diag}(1,2)\text{ 与 }\mathrm{diag}(1,3)$$ 合同但不相似。
4. 正交相似既是相似又是合同。
5. 合同变换不改变二次型的秩、正负惯性指数、正定性、负定性。
6. 关系总结： $$\text{合同}\Rightarrow \text{等价},\text{相似}\Rightarrow \text{等价}$$ 对实对称矩阵还有： $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}\Rightarrow \text{等价}$$ 但反向一般不成立。

题型与应用

1. 概念辨析选择题： 判断两个实对称矩阵是否合同、是否相似、是否等价，常通过比较正负惯性指数或特征值符号个数解决。

2. 计算题： 用配方法或正交变换将二次型化为标准形、规范形；求可逆矩阵 $C$，使 $C^{T}AC$ 为对角矩阵或规范形。

3. 证明题： 利用惯性定理证明二次型类型不变；判断正定二次型；证明正定矩阵合同于单位矩阵等。

4. 综合题： 结合特征值、相似对角化、正定性，比较“等价、相似、合同”三种关系。 注意：

   $$\text{合同}\Rightarrow \text{等价},\text{相似}\Rightarrow \text{等价}$$

   对实对称矩阵：

   $$\text{相似}\Rightarrow \text{合同}\Rightarrow \text{等价}$$

   但合同不一定相似。