极限概念与性质

什么是极限？

简单的说就是，当自变量无限接近某个值，或者无限增大时，函数值无限接近什么 比如：${\lim }_{x\to 1}(x+2)=3$ 指的是当 $x$ 越来越接近 $1$ 时，$x+2$ 的值也会越来越接近 $3$，强调的是接近的过程，不是简单的令$x=1$。

极限的严格定义

设数列 $\{a_n\}$ 在 $n$ 充分大时有定义。

$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n>N⟹|a_n-A|<\epsilon$ 则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，并记作

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$

同样的，函数的极限也可这样定义： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in D_f,0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-A|<\epsilon$

则称函数 $f(x)$ 收敛于 $A$，并记作 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 这种不说人话的表述确实有点难理解，你只要明白，极限的定义并未要求函数在这一点处有定义，只需在去心领域内有定义即可。还有下面的性质。

局部有界性

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则存在点 $x_0$ 的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 以及一个正数 $M>0$，使得对任意 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，均有：

$|f(x)|\le M$ 简单的说就是在极限存在的点的某个去心邻域内，函数有界。

局部保号性

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

1. 若 $A>0$，则存在点 $x_0$ 的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$，使得对任意 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，均有：

$f(x)>0$

2. 若 $A<0$，则存在点 $x_0$ 的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$，使得对任意 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，均有：

$f(x)<0$

• 极限推函数：保持严格不等号。
  • $\lim f(x)>0⟹f(x)>0$
  • $\lim f(x)<0⟹f(x)<0$
• 函数推极限：严格不等号变等号（或包含等号）。
  • $f(x)>0⟹\lim f(x)\ge 0$
  • $f(x)\ge 0⟹\lim f(x)\ge 0$

Tips

1. 仅在去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内成立，不包含中心点 $x=x_0$ 本身。
2. 前提是极限存在